제 1 장 연립일차방정식과 행렬
자연과학이나 사회과학의 다양한 문제들은 쉽게 연립일차방정식의 문제로 바꾸어 놓을 수 있기 때문에 연립방정식을 푸는 일은 중요하다. 연립방정식을 풀 때, 행렬을 이용하면 매우 편리하다. 이 장에서는 행렬을 정의하고 행렬의 연산에 대하여 알아본다. 또 행렬을 이용하여 연립방정식의 해를 구하는 방법을 소개하고, 행렬과 연립방정식의 해 사이의 관계를 살펴본다.
오늘은 1장 3절 행렬연산의 성질을 학습합시다. 1.3절에서는 앞에서 정의된 행렬연산의 성질에 대하여 알아보겠습니다
OCU 1장 3절
(1.3) 행렬연산의 성질
- 두행렬 A와 B의 곱은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.
AB ≠ BA
정리 1.1 행렬 A, B, C 는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, a, b, c 가 스칼라일 때, 다음이 성립한다. <9가지성질>
(덧셈의 교환법칙) (덧셈의 결합법칙) (곱셈의 결합법칙) (좌분배법칙) (우분배법칙 등)
- 영행렬(zero matrix)
성분이 모두 0인 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하고, 0 으로 나타낸다.
정리 1.2 임의의 행렬 A 와 영행렬 0 에 대하여 다음이 성립한다.
A+0=0+A=A
A-A=0
0-A=-A
A0=0A=0
- 단위행렬(identity matrix)
주대각선성분이 모두 1인 n차의 스칼라행렬을 n차의 단위행렬(identity matrix)이라 하고 In 으로 나타낸다. 즉, A가 mxn 행렬일 때, 단위행렬 Im , In 에 대하여 다음이 성립함을 쉽게 알 수 있다.
ImA = A = AIn
정 의 A가 n차의 정사각행렬일 때, A의 거듭제곱을 다음과 같이 정의한다.
A0 = In , Ak = A ... A (k 개)
정리 1.3 A가 정사각행렬이고 r, s 가 음이 아닌 정수 일 때, 다음이 성립한다.
정 의 행렬 A=[aij ]m×n 에 대하여 A의 전치행렬(transpose of A)을 AT로 나타내 고 다음과 같이 정의한다.
정리 1.4 두 행렬 A, B 와 임의의 스칼라 k 에 대하여 다음이 성립한다.
정 의 정사각행렬 A가 AT = A 를 만족하면 A를 대칭행렬(symmetric matrix)이라 하고, AT =-A 를 만족하면 반대칭행렬(skew symmetric matrix)이라고 한다.
정리 1. 행렬 A, B, C 는 각 연산이 정의될 수 있는 적당한 크기의 행렬이고, a, b, c 가 스칼라일 때, 다음이 성립한다. <9가지성질>
(덧셈의 교환법칙) (덧셈의 결합법칙) (곱셈의 결합법칙)
(좌분배법칙) (우분배법칙등)
정리 2.임의의 행렬 A 와 영행렬 0 에 대하여 다음이 성립한다.
A+O=O+A=A, A-A=O, O-A=-A, AO=OA=O
정리 3. A가 정사각행렬이고 r, s 가 음이 아닌 정수 일 때, 다음이 성립한다.
정리 4. 두 행렬 A, B 와 임의의 스칼라 k 에 대하여 다음이 성립한다.
정리 5 첨가행렬이 행동치인 두 연립일차방정식은 동치이다.
* Gauss 소거법
위 정리에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 REF로 변형시켜 그 해를 구할 수 있다.
이러한 방법을 Gauss 소거법이라고 한다.
* Gauss-Jordan 소거법
한편, 정리 1.5에 의하여 연립일차방정식의 첨가행렬을 RREF로 변형시켜 해를 구할 수도
있다. 이러한 방법을 Gauss-Jordan 소거법이라고 한다.
정리 7. n차의 정사각행렬 A, B 가 가역이고 k 가 0 이 아닌 스칼라일 때, 다음이 성립한다.
정리 8. n차의 정사각행렬 A가 가역이고 B가 n×1 행렬일 때, 연립방정식 AX=B는 유일해 X=A-1B를 갖는다.
정리 9. n개의 미지수를 갖는 m개의 방정식으로 이루어진 동차연립일차방정식은 m
정리 10. 치환 σ의 임의의 두수를 바꾼 치환을 τ라하면 다음이 성립한다.
sgn(τ)=-sgn(σ)
정리 11. 정사각행렬 A의 행렬식과 A의 전치행렬 AT의 행렬식의 값은 같다.
정리 12. 행렬 B가 정사각행렬 A의 두 행을 서로 바꾸어서 얻어진 행렬이라면
B=-A 이다
정리 13. 정사각행렬 A의 두 행이 일치하면 A=0이다.
정리 14. 정사각행렬 A의 한 행의 성분이 모두 0이면 A=0이다.
정리 15. 정사각행렬 A의 한 행을 k배하여 얻어진 행렬을 B라 하면 B=kA이다.
정리 16. 정사각행렬 A의 한 행의 k배를 다른 행에 더하여 얻어진 행렬을 B라 하면
B=A이다.
정리 17. A=[aij]가 n차의 삼각행렬이면 A의 행렬식은 주대각선성분의 곱과 같다. 즉,
정리 18. 두 행렬 A, B가 n차의 정사각행렬일 때, 다음이 성립한다.
AB=AB
(증명은 다음 주소를 참조 :
http://www.math.unl.edu/~msapir/M314HNotes/proofdet3.html/ )
이 주소는 Vanderbilt Univ. 로 바뀌었음
정리 19. 행렬 A가 가역이면 A≠0 이고 다음이 성립한다.
정리 20. A가 n차의 정사각행렬일 때 i, j(1≤i≤n, 1≤j≤n)에 대하여 다음이 성립한다.
(i열에 관한 여인자전개)
(j열에 관한 여인자전개)
정리 21. n차의 정사각행렬 A가 가역일 때, A의 역행렬은 다음과 같다.
정리 22. A가 n차의 정사각행렬일 때, 다음은 동치이다.
(1) A는 가역이다.
(2) 모든 n×1 행렬 B에 대하여 연립일차방정식 AX=B가 유일한 해를 갖는다
(3) 동차연립일차방정식 AX=0이 자명한 해만 갖는다.
(4) A와 In은 행동치이다.
(5) A≠0
정리 23. 벡터x=(x1,x2,x3) ,y=(y1,y2,y3), z=(z1,z2,z3)에 대하여, 다 음 등식이 성립한다.
정리 24. R3의 벡터 x, y에 대하여 다음 등식이 성립한다.
(1) x·(x×y)=0
(2) y·(x×y)=0
(3) x×y2=x2y2-(x·y)2
정리 25. R3의 벡터 x, y, z 와 실수 k에 대하여 다음 등식이 성립한다.
(1) (x×y) = -(y×x)
(2) x×(y+z) = x×y + x×z
(3) (x+y)×z = x×z + y×z
(4) k(x×y) = (kx)×y = x×(ky)
(5) x×x = 0
(6) 0×x = x×0 = 0
(7) (x×y)×z = (x·z)y-(y·z)x
(8) x×(y×z)=(x·z)y-(y·x)z
정리 26. R3의 벡터 x, y≠0에 대하여 u=y/y일때, 다음이 성립한다.
(1) projy x=(x·u)u
(2) projy x=x·u
정리 27. R3의 한점 P에서 직선 l에 이르는 거리 D는 다음과 같다.
여기서, Q, R은 직선 l 위에 있는 임의의 서로 다른 두 점이다.
정리 28. 점 P0(x0,y0,z0) 와 평면 π:ax+by+cz+d=0 사이의 거리 D는
다음과 같다.
정리 29. Rn의 벡터 x, y, z와 스칼라 h, k에 대하여 다음이 성립한다.
(1) x+y=y+x
(2) (x+y)+z=x+(y+z)
(3) x+0=0+x=x
(4) x+(-x)=(-x)+x=0
(5) k(x+y)=kx+ky
(6) (h+k)x=hx+kx
(7) (hk)x=h(kx)
(8) 1x=x
정리 30. Rn의 벡터 x, y, z와 스칼라 k에 대하여 다음이 성립한다.
(1) x·x≥0, x·x=0⇔x=0
(2) x·y=y·x
(3) (x+y)·z=x·z + y·z
(4) (kx)·y=x·(ky)=k(x·y)
정리 31.
V에서 다음이 성립한다.
(a) O와 O'이 V안의 이면 O = O' 이다.
(b) u'과 u''이 V의 원소 u의 이면 u' = u'' 이다.
(c) V의 모든 원소 u에 대하여 0u = O 이다.
(d) 모든 스칼라 c에 대하여 cO = O 이다.
(e) V의 모든 원소 u에 대하여 -(-u) = u 이다.
(f) V의 모든 원소 u, v, w에 대하여 u - v = w 일 필요충분조건은 u = w + v 이다.
정리 32.
W가 V의 부분집합이라고 하 자.
W가 V의 일 필요충분조건은 다음 세 조건이 성립하는 것이다.
(i)' W가 공집합이 아니다.
(ii)' W의 모든 원소 u, v에 대하여 u + v가 W에 속한다.
(iii)' 모든 스칼라 a와 W의 모든 원소 u에 대하여 au가 W에 속한다.
정리 33.
W가 V의 이면 W는 이다.
즉, 벡터공간의 모든 부분공간은 벡터공간이다.
정리 34.
V가 이고, v1, ... , vn이 V의 벡터라고 하자. 그러면 다음 두 조건은 서로 동치이다.
(i) v1, ... , vn은 이다.
(ii) v1, ... , vn중 어느 한 벡터가 그 외의 벡터들의 으로 표현된다.
정리 35.
V가 이고, v1, ... , vk가 V의 인 벡터들이라고 하자. 만일 스칼라 a1, ... ,
ak, b1, ... , bk 들에 대하여
a1v1 + ... + akvk = b1v1 + ... + bkvk
이면 a1 = b1, ..., ak = bk 이다.
정리 36.
V가 이고, W가 V의 영아닌 벡터 v1, ... , vm에 의해서 되는 V의
이라고 하자. 그러면 v1, ... , vm 중에 W를 하는 인 벡터 w1, ... ,
wk가 존재한다.
정리 37.
V가 벡터 v1, ... , vn에 의해서 되고, w1, ... , wk가 V의 인
벡터들이라고 하자. 그러면 k ≤ n 이다.
정리 38.
V가 이고, 벡터 v1, ... , vn들이 V의 를 이루고, 벡터 w1, ... , wm들이 V의
를 이룬다고 하자. 그러면 n = m 이다.
정리 39. V, W가 벡터공간이고 L:V→W을 선형변환이라 하면 다음이 성립한다.
(1) L(0)=0
(2) ∀v∈V, L(-v)=-L(v)
(3) ∀v, w∈V, L(v-w)=L(v)-L(w)
정리 40. L:Rn→Rm이 선형변환이면 L의 표준행렬 A와 x∈Rn에 대하여 다음이 성립한다.
L(x)=Ax
정리 41. n차원 벡터공간 V와 m차원 벡터공간 W에 대하여 L:V→W를 y=L(x) (x∈V)로
정의된 선형변환이라 하고, S={x1, x2, ... ,xn} 와 T={y1, y2, ... ,yn} 를 각각 V와 W의
순서기저라 하자. 그러면
[y]T=A[x]S
이고, 이러한 행렬A는 유일하게 존재한다.
다음 그림 5.5는y=L(x)로 정의된 선형변환 L:V→W의 A에 의한 행렬표 현을
예시하여준다.
정리 42. L:V→V이 선형변환이고 S와T 가 V의 두 기저일 때,
A=[L]S, A'=[L]T
라 하자. 이 때 기저T에서 기저S로의 전이행렬 P에 대하여 다음이 성립한다.
A'=P-1AP
정리 43. n차의 정사각행렬 A, B, C에 대하여 다음이 성립한다.
(1) A는 A와 닮은행렬이다.
(2) B가 A와 닮은행렬이면 A는 B와 닮은행렬이다.
(3) B가 A와 닮은행렬이고 A가 C와 닮은행렬이면 B는 C와 닮은행렬이다.
정리 44. n차의 정사각행렬 A가 대각화 가능할 필요충분조건은 A가 n개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 것이다. 이 때, A는 자신의 고유값 λ1, ... ,λn을 주대각선성분으 로 갖는 대각행렬 D와 닮은행렬이다.
정리 45. 의 증명으로부터 대각화가능한 n차의 정사각행렬 A는 다음 과정을 통하여
대각화할 수 있다.
I. A의 n개의 일차독립인 고유벡터 p(1), P(2), ... ,P(n)을 구한다.
II. p(1), p(2), ... ,p(n)을 열벡터로 갖는 행렬 P를 만든다.
III. 이 P가 A를 대각화하는 행렬이고 P-1AP는 A의 고유값 λ1, ... ,λn을 주
대각선 성분으로 갖는 대각선 행렬이다.
정리 46. x1, x2, ... ,xk를 행렬 A∈Mn의 서로 다른 고유값 λ1, λ2, ... ,λk에 대응 하는
고유벡터라 하면 {x1, x2, ... ,xk}는 일차독립이다.
정리 6.1과 6.2로 부터 다음 정리를 얻는다.
정리 47. n차의 정사각행렬 A가 n개의 서로 다른 고유값을 가지면 A는 대각화가능하다.일반적으로 A의 특성다항식은 λi가 A의 고유값일 때 (λ-λi)들의 곱으로 나타 낼 수 있으므로 λ1, λ2, ... ,λk를 행렬 A∈Mn의 서로 다른 고유값이라 하면 A 특성다항식은의
와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 m1, m2, ... ,mk의 합은 n이 된다. 이 때, 정수 mi를 λi의 중복도(multiplicity)라 한다. 예를 들면 예제 7에서 λ=2의 중복도는 2 이다.
정리 48. 대칭행렬의 고유값은 모두 실수이다.
정리 49. n차 정사각행렬 A에 대하여 다음은 동치이다.
(1) A는 직교대각화가능하다.
(2) A는 대칭행렬이다.
정리 6.6 A가 대칭행렬이면 A는 n개의 고유벡터들의 정규직교집합을 갖는다.
정리 6.5로 부터 모든 대칭행렬A는 직교대각화가능하며 이때, 직교대각화하는 행렬P는 정리 6.6으로 부터A의 n개의 일차독립인 정규직교 고유벡터들을 열벡 터로 갖는 행렬임을 알 수 있다.
정리 50. A가 대칭행렬이면, A의 서로 다른 고유값에 대응하는 고유벡터는 서로 직교한다.
정리 51. 대각화가능한 n차의 정사각행렬 A의 고유값 λ1, λ2, ... ,λn 에 대응하는 일차독립인 고유벡터를 각각 v1, v2, ... ,vn이라고 하자. 그러면x'=Ax 의 해는 다음과 같다.
정리 52. 임의의 복소수 z에 대하여 다음이 성립한다.
zz-=z2
정리 53. 임의의 복소수z1, z2에 대하여 다음이 성립한다.
정리 54. 복소행렬 A, B와 임의의 복소수 c에 대하여 다음이 성립한다.
정리 55 행렬 A∈Mn(C)가 Hermitian행렬일 때, 다음이 성립한다.
(1) 임의의 복소벡터 x∈Cn에 대하여 x*Ax는 실수이다.
(2) A의 고유값은 모두 실수이다.
(3) A의 서로 다른 두개의 고유값에 대응하는 각각의 고유벡터는 서로 수직이다.
정리 56 . 유니타리 행렬
Cn에 유클리드 내적이 정의되어 있고 U가 유니타리행렬이면 다음이 성립한다.
(1) x, y∈Cn에 대하여
(2) λ가 U의 고유값이면 λ=1 이다.
(3) U의 서로 다른 두개의 고유값에 대응하는 각각의 고유벡터는 직교한다.
정리 57. (Schur 정리)
임의의 n 차 정사각행렬은 자신의 고유값을 대각선성분으로 갖는 상삼각행렬과 유니타리 닮음이다.
정리 58. 행렬 A∈Mn(C) 에 대하여 다음은 동치이다.
(1) A는 유니타리 대각화가능하다.
(2) A는 정규행렬이다.
(3) A는 n 개의 정규직교인 고유벡터를 갖는다.
정리 59. (R2 의 주축정리)
대칭행렬 A∈M2(R)의 고유값을 λ1, λ2라 할 때, 좌표축의 회전에 의하여 이차형식
q(x)=xTAx는 새로운 x'y'-좌표계에서
q(x')=λ1(x')2+λ2(y')2 (2)
으로 표현될 수 있다. 이 회전은 행렬식이 1이고 A를 대각화하는 직교행렬을 P 라 할 때
x=Px'이라는 치환에 의하여 얻어진다.
정리60. ( R3 의 주축정리)
q(x)=xTAx 를 대칭행렬 A∈M3(R) 의 이차형식이라 하고 P는 A를 대각화하는
직교행렬이라 하자. 그러면 치환 x=Px'에 의하여 λ1, λ2, λ3 가 A의 고유값이라 할때
q(x)는 다음과 같이 나타낼 수있다.
q(x')=λ1((x1)')2+λ2((x2)')2+λ3((x3)')2 (1)
정리 61. 행렬 A∈M3(R) 가 대칭행렬일 때, A의 이차형식 q(x)=xTAx는 다음을 만족한다.
(1) A의 고유값들이 모두 양이라면 q(x)는 양의 정부호(positive definite) 이다.
(2) A의 고유값들이 모두 음이라면 q(x)는 음의 정부호(negative definite) 이다.
(3) A가 양의 고유값과 음의 고유값를 모두 가지면 q(x)는 부정부호(indefinite) 이다.
정 리 62. q (x,y)=ax2 +2bxy+cy2을 x와 y에 대한 이차형식이라 하고
△=ac-b2 ≠0 이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
(1) △>0이고 a>0이면 q는 양의 정부호 이다.
(2) △>0이고 a<0이면>
(3) △<0이면>
정리 63. 대칭행렬 A∈M(R) 의 정상적인 이차형식 q(x)=xTAx 에 대하여 다음이 성립한다.
(1) q가 양의 정부호일 필요충분조건은 모든 k=1,2,......n에 대하여 △k>0 이다.
(2) q가 음의 정부호일 필요충분조건은 모든 k=1,2,.......,n에 대하여(-1)k△k>0 이다.
정리 64. 함수 f:Rn →R가 임계점 x=a에서 연속인 3계편도함수를 갖고, 이 점에서 f의
이차형식을 q(x)=xTHx 라고 할 때, 다음이 성립한다.
(1) q가 양의 정부호이면 f(a)는 극소값이다.
(2) q가 음의 정부호이면 f(a)는 극대값이다.
(3) q가 부정부호이면, f(a)는 극대값도 아니고 극소값도 아니다.
이때, x=a 를 안장점(saddle point)이라고 한다.
정의(Definitions)
정의 1. (벡터공간)
V는 집합이고, V에는 벡터합(vector addition)(또는 벡터 덧셈)이라고 부르는 연산 즉, V의 두 원소 u, v에 V의 원소 u+v를 대응시키는 연산과스칼라에 의한 곱(multiplication by scalars)이라고 부르는 연산 즉, V의 원소 u와 수(이를 보통 스칼라(scalar)라고 부름) a에 V의 원소 au를 대응시키는 연산이 정의되어 있다고 하자. 이 두 가지 연산이 다음 8가지 조건을 만족할 때 V를 벡터공간(vector space)이라 하고, V의 원소를 벡터라고 한다.
- (i) V의 모든 원소 u, v에 대하여 u + v = v + u.
- (ii) V의 모든 원소 u, v, w에 대하여 (u + v) + w = u + (v + w).
- (iii) V의 모든 원소 u에 대하여 u + O = u = O + u 를 만족하는 O가 V안에 존재한다.
- (iv) V의 각 원소 u에 대하여 V의 원소 u'이 존재하여 u + u' = O = u' + u 가 성립한다.
- (v) 모든 스칼라 a, b와 V의 모든 원소 u에 대하여 (a + b)u = au + bu.
- (vi) 모든 스칼라 a와 V의 모든 원소 u, v에 대하여 a(u + v) = au + av.
- (vii) 모든 스칼라 a, b와 V의 모든 원소 u에 대하여 (ab)u = a(bu).
- (viii) V의 모든 원소 u에 대하여 1u = u.
참고
정의 1의 조건 (iii)에서 O를 V의 영벡터(zero vector)라고 한다. 또 조건 (iv)에서 u'을 u의 덧셈에 관한 역원이라고 하며, 보통 기호 -u로 나타낸다. 조건 (i), 조건 (ii)를 각각 벡터 덧셈의 교환법칙(commutative law), 벡터 덧셈의 결합법칙(associative law)이라고 한다. 특히 (ii)에 의하여 벡터공간안의 세 벡터 u, v, w의 합을 괄호 없이 u + v + w로 나타내기도 한다.정의 2. (부분공간)
v1, ... , vn이 W가 벡터공간 V의 부분집합이라 하자. 다음 세 조건이 성립할 때 W를 V의 부분공간(subspace)이라고 한다.- (i) V의 영벡터 O가 W에 속한다.
- (ii) W의 모든 원소 u, v에 대하여 u+v가 W에 속한다.
- (iii) 모든 스칼라 a와 W의 모든 원소 u에 대하여 au가 W에 속한다.
참고
정의 2에서 조건 (ii)를 보통 W는 벡터 덧셈에 관해 닫혀 있다고 하며, 조건 (iii)을 보통 W는 스칼라에 의한 곱셈에 관해 닫혀 있다고 한다.정의 3. (일차결합)
v1, ... , vn이 벡터공간 V의 벡터들이고, a1, ... , an이 스칼라들일 때합 a1v1 + ... + anvn을 벡터 v1, ... , vn의 일차결합(linear combination)이라고 한다.
정의 4. (일차독립, 일차종속)
벡터 v1, ... , vn의 일차결합 a1v1 + ... + anvn가 영벡터와 같아지는 경우가오직 a1 = ... = an = 0 인 경우 뿐일 때 벡터 v1, ... , vn은 일차독립(linearly independent)이라고 한다. 그렇지 않을 때 즉, 스칼라 a1, ... , an중에 0이 아닌 것이 있는데도 불구하고 일차결합 a1v1 + ... + anvn가 영벡터와 같아지는 경우가 생길 때 벡터 v1, ... , vn은 일차종속(linearly dependent)이라고 한다.
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