행렬

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행렬(行列, matrix)은 수를 네모꼴로 배열한 것으로, 늘어놓은 수들을 괄호로 묶어 표현한다.

[편집] 정의

행렬의 가로줄을 한자어로 행이라고 하고, 세로줄을 열이라고 한다. 여기에서 행렬이라는 이름이 유래했다.

예) $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

위의 예에서 행렬 A는 두 개의 행 세 개의 열로 이루어져 있다. 어떤 행렬이 m개의 행과 n개의 열로 구성되어 있으면, m by n 행렬, 또는 m×n 행렬이라고 쓴다. m과 n은 차원(次元, dimension)이라고 한다.

$a i j$ 는 A행렬의 i번째 행, j번째 열에 있는 원소를 뜻한다.

벡터를 1행 행렬 또는 1열 행렬로 생각할 수도 있다. 수를 1x1 행렬로 생각할 수도 있다.

[편집] 연산

[편집] 덧셈

행렬의 합은 같은 자리에 있는 원소의 합으로 정의한다.

(A + B) i j = A i j + B i j

예) $\begin{bmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 7 & 5 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 3+0 & 7+5 \\ 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 12 \\ 8 & 5 & 0 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$

[편집] 스칼라 곱

한 행렬에 숫자를 곱하는 연산은, 각 원소에 그 수를 곱하는 방식으로 정의한다.

(k A) i j = k A i j

예) $2 \begin{bmatrix} 1 & 8 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\ 2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 16 & -6 \\ 8 & -4 & 10 \end{bmatrix}$

[편집] 곱셈

행렬 간의 곱은 다음과 같이 정의한다.

(AB)_ij =	∑	A_ikB_kj
	k

이 때, A의 열 개수와 B의 행 개수가 같아야 곱셈이 정의된다.

예) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 0) \\ (-1 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 1) & (-1 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 1 \cdot 0) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

또한, 행렬의 곱은 비가환 곱이다. $A B$ 와 $B A$ 가 모두 정의된다고 해도, 이 두 결과는 같지 않을 수 있다.

$A B \ne B A$

[편집] 정사각행렬

정사각행렬(Square Matrix)은 행의 수와 열의 수가 같은 행렬을 말한다.

예를 들어 2x2, 3x3, 4x4 행렬 등이다.

[편집] 행렬식

이 부분의 본문은 행렬식입니다.

행렬식(determinant)은 $d e t (A)$ 또는 $A$ 로 표시하며 선형 행렬 A의 크기를 나타낸다. 행렬 2x2 행렬 A가

$A=\begin{bmatrix}a&b\\ c&d\end{bmatrix}$

와 같이 주어진다면, det(A)는

det(A) = a d - b c

와 같이 정의된다.

[편집] 특수한 행렬

영행렬이란 행렬의 모든 원소의 값이 0인 행렬을 말한다. 영행렬은 덧셈에 대한 항등원이다.

$\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$

단위행렬은 정사각행렬 중에서 행 번호와 열 번호가 같은 위치의 값은 1이고, 나머지는 0을 가지는 행렬을 말한다. 이 행렬은 곱셈에 대한 항등원이다.

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

역행렬이란 어떤 행렬의 곱셈에 대한 역원이다.

Jang Won Hee

2008년 1월 1일 화요일

행렬

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