합동

합동 (合同) 초등기하학·정수론(整數論) 등에서 자주 사용되는 용어이다. 【기하학에서의 합동】 운동에 의하여 겹치게 할 수 있는 두 도형은 합동이라 한다. 운동이라는 것은 도형의 모양·크기를 변하지 않고 그 위치만을 변화시키는 일을 말한다. 두 도형 A,B가 합동이라는 것을 A≡B로 표시한다. 이 때 다음 관계가 성립한다. A≡A(반사율) A≡B이면 B≡A(대칭률) A≡B, B≡C이면 A≡C(추이율) 두 합동인 도형을 겹치게 했을 때, 겹치는 점을 대응점(對應點)이라고 하면, 한쪽 도형의 두 점사이의 거리는, 다른 쪽의 도형의 이들에 대응하는 두 점사이의 거리와 같다. 한 변의 길이가 같은 두 정사각형, 반지름이 같은 두 원이나 구는 각각 합동이다. △ABC, △A'B'C'는 다음 경우에 합동이다. ① AB=A'B', AC=A'C', ∠A=∠A' ② BC=B'C', ∠B=∠B', ∠C=∠C' ③ AB=A'B', AC=A'C', BC=B'C' ④ AB=A'B', BC=B'C', ∠A=∠A'=∠R 【정수론에서의 합동】 두 정수 a,b에서 그 차가 정수 m으로 나누어 떨어질 때, a,b와 m을 법(法:모듈러스)으로 하여 합동이라고 한다. 이를 a≡b(mod m) 또는 a≡b(m) 과 같이 나타낸다. 이와 같은 합동관계를 나타내는 식을 합동식이라 한다. 이 때, 다음관계가 성립한다. a≡a(m) (반사율) a≡b(m)이면 b≡a(m)(대칭률) a≡b(m), b=c(m)이면 a≡c(m)(추이율) 이 밖에 a≡b(m)이면 a±c≡b±c(m) ac≡bc(m)(단, c는 정수) a≡b(m), c≡d(m)이면 a±c≡b±d(m), ac≡bd(m) c와 m이 서로 소인 관계이고, ac≡bc(m)이면 a≡b(m)인 합동이 성립하게 된다. m을 법으로 하고, a에 합동인 정수의 전체를, m을 법으로 하는 잉여류(剩餘類)라 한다. 동일 잉여류에 속하는 수는 m을 법으로 하여 서로 합동이다. a를 각각 0,1,2,…,m－1로 하여 m개의 잉여류를 만들면, 이들의 전체는 정수 전체와 일치한다. 즉, 정수 전체는 m을 법으로 하여 m개의 잉여류로 나눌 수 있다. 이것을 완전잉여류라 하며, 각 잉여류에서 대표로서 하나씩 선택한 m개의 수인 조(組)를 완전잉여계라 한다. a,b,m을 정수라고 할 때, ax＋b≡0(m) 또는 ax≡b(m)인 형의 합동식을 1차 합동방정식, 또는 단순히 1차 합동식이라고 하며, 이 관계를 만족시키는 정수 x를 그의 해(解)라고 한다. ax≡b(m)은 a,m이 서로 소이면, 오직 하나의 해를 가진다. 또 a,m의 최대공약수가 d(＞1)라고 하면, b가 d의 배수인 때에 한하여 해를 가진다. 해의 수는 d개이다. 여기에 해의 수라고 하는 것은, m을 법으로 하고 같은 잉여류에 속하는 해는 하나로서 계산한 수를 가리킨다