Jang Won Hee

1.4 행렬의 성질

변수 , ,, 의 일차결합은

(1)

이다. 여기서 는 (단, )의 계수이다. 식 (1)의 일차결합이 미리 지정한 값 와 같다고 놓으면, 다음과 같은 , ,, 의 선형방정식(linear equation)

(2)

을 얻는다.

선형 연립방정식은 실생활에서 자주 접할 수 있는 문제의 형태이다. 개의 미지수를 가진 개의 선형 방정식을

와 같이 나타낼 수 있다. 이 때, 각각의 방정식에서 서로 다른 계수들을 나타내기 위해서는 두 개의 아래첨자 를 사용해야 한다. 첫 번째 아래첨자는 번째 방정식이라는 것을 의미하고, 두 번째 아래첨자는 변수 를 의미한다.

연립방정식 (3)의 해는 방정식 모두를 동시에 만족하는 , ,, 의 값들로 이루어진 집합이므로, 해는

(4)

와 같은 차원 벡터이다.

[예제 1.20] 보도를 포장할 때 사용하는 콘크리트는 시멘트, 모래, 자갈을 혼합한 것으로, 판매업자는 고객을 위해 세 가지 상품을 준비하였다. 상품 1은 시멘트, 모래, 자갈을 , , 의 비율로 혼합한 것이다. 상품 2의 비율은 , , 이고, 상품 3의 비율은 , , 이다. 혼합 시멘트 를 만들기 위해 사용한 상품의 양을 각각 , , 라고 하자. 또, 혼합 시멘트에는 시멘트, 모래, 자갈이 각각 , , 가 포함되어 있다고 하자. 그러면 각 원료에 대한 선형 연립방정식은 다음과 같다.

(5)

선형 연립방정식 (5)의 해는 , , 이다. 이것을 방정식에 직접 대입해보면, 이 값이 방정식의 해가 된다는 것을 확인할 수 있다. 즉,

(6)

행렬의 곱셈

두 행렬의 곱셈에 대하여 정의하고 그 성질에 대해 알아본다.

[정의 1.9] 두 행렬 , 에 대하여 의 열의 개수와 의 행의 개수가 같으면, 행렬의 곱 는 인 행렬 가 된다. 즉,

. (6)

여기서 행렬 의 성분 는 의 번째 행과 의 번째 열의 내적이다. 즉, , 에 대하여

(7)

이다.

[예제 1.21] 다음 두 행렬의 곱 를 구하고, 를 정의할 수 없는 이유를 설명하여라.

(풀이) 행렬 의 열은 개이고 의 행도 개이므로, 행렬의 곱 를 정의할 수 있고, 곱행렬은 행렬과 행렬의 곱이므로 행렬이다. 곱행렬은

곱 를 구하려고 할 때, 의 행은 차원 벡터이고 의 열은 차원 벡터이므로, 이 순서로는 차원이 맞지 않으므로, 의 번째 행과 의 번째 열 사이의 내적을 정의할 수 없다.

만일 이면, 와 사이에 교환법칙이 성립한다고 한다. 대부분의 경우, 와 가 모두 정의되더라도 그 결과가 반드시 같지는 않다.

이제 행렬을 사용하여 선형 연립방정식을 나타내는 방법에 대하여 살펴보자. 식 (3)의 선형 연립방정식을 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다. 계수 로 만들어지는 행렬 를 계수행렬(coefficient matrix)이라고 한다. 미지수 는 행렬 로 나타내고, 상수 는 행렬 로 나타낸다. 행렬 와 는 열행렬로 나타내는 것이 관례이다. 따라서, 선형 연립방정식 (3)을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

. (8)

식 (8)에서 의 성분 는 행렬 의 번째 열과 열행렬 사이에 내적을 취해 구한 값이기 때문에 행렬의 곱셈 로부터 일반적인 벡터의 내적을 생각할 수 있다.

[예제 1.22] 예제 1.20의 식 (5)에 있는 선형 연립방정식을 행렬의 곱으로 나타내어라. 행렬의 곱셈을 사용하여 이 식 (5)의 해가 됨을 증명하여라.

. (9)

(풀이) 이 식 (5)의 해가 됨을 증명하기 위해서는 임을 보여야 한다. 그런데

이므로 은 선형 연립방정식 (9)의 해가 된다.

특수한 행렬

모든 성분이 인 행렬을 차원이 인 영행렬(zero matrix of dimension )이라 하고,

(10)

와 같이 나타낸다. 차원을 혼동할 염려가 없을 때에는 영행렬을 로 나타낼 수 있다.

또, 정사각행렬

(11)

을 차 단위행렬(identity matrix)이라고 한다. 다음 예제에서 볼 수 있듯이, 이 단위행렬은 곱셈에 대한 항등원이 된다.

[예제 1.23] 를 행렬이라고 하면, 이다. 를 의 왼쪽에 곱하면,

을 의 오른쪽에 곱하면,

다음은 행렬의 곱셈이 가진 몇 가지 성질에 관한 정리이다.

[정리 1.6] (행렬의 곱셈) 는 스칼라이고, , , 는 각 성질에 있는 곱과 합이 정의되는 행렬이라고 하자. 그러면, 다음 성질이 성립한다.

행렬의 곱셈에 대한 결합법칙 (12)

곱셈에 대한 항등원(단위행렬) (13)

왼쪽 분배법칙 (14)

오른쪽 분배법칙 (15)

스칼라에 대한 결합법칙 (16)

정칙행렬의 역행렬

수의 연산에서 역(inverse)의 개념을 행렬에 적용할 수는 있지만, 특별한 주의를 기울여야 한다. 만일 행렬 에 대하여

(17)

를 만족하는 행렬 가 존재하면, 는 정칙(nonsingular) 또는 가역(invertible)이라고 한다. 만일 그런 가 존재하지 않으면, 는 특이(singular)라고 한다. 식 (17)을 만족하는 가 존재하면, 그 행렬을 로 나타낸다. 이들 행렬에 대하여 관계식

(단, 는 정칙행렬) (18)

이 성립한다.

관계식 (17)을 만족하는 행렬 는 유일하게 존재한다는 것을 쉽게 보일 수 있다. 행렬를 행렬 의 또다른 역행렬(즉, )이라고 하면, 식 (12)와 (13)에 있는 성질로부터 .

을 얻는다. 따라서 역행렬은 유일하게 존재한다.

행렬식

정사각행렬 의 행렬식(determinant)은 스칼라이고, 이것을 det() 또는 라고 나타낸다. 행렬가

이면, 의 행렬식은

이 된다. 행렬식에 대한 표시법이 행렬과 비슷하게 보이지만, 그것의 성질은 완전히 다르다. 그 중의 하나를 들어보면, 행렬식은 스칼라라는 것이다.

대부분의 선형대수학 교재에 나와있는 행렬 det()을 구하는 방법은 인 경우에 는 사용할 수 없다. 따라서, 여기에서는 여인자(cofactor) 전개법을 사용하여 행렬식을 계산하는 방법에 대하여 공부한다.

가 행렬이면, det()로 정의한다. 만일 ()이면, 의 번째 행과 번째 열을 지운 부분행렬의 행렬식을 로 표시한다. 이 행렬식 를 의 소행렬식(minor)이라고 한다. 이 때, 의 여인자(cofactor) 는 로 정의한다. 그러면, 행렬 의 행렬식을 다음과 같이

(번째 행에 대한 전개식) (19)

또는

(번째 열에 대한 전개식) (20)

로 나타낸다.

에 대하여 공식 (19)를 행렬

에 적용하면, det임을 알 수 있다. 다음 예제는 행렬의 행렬식을 구하는 문제를 식 (19)와 (20)을 반복 사용함으로써 행렬식을 여러 번 계산하는 문제로 바꾸는 방법을 보여준다.

[예제 1.24] 에 대한 공식 (19)와 에 대한 공식 (20)을 사용하여 다음 행렬의 행렬식을 구하여라.

(풀이) 공식 (19)를 에 대하여 적용하면

한편, 공식 (20)을 에 대하여 적용하면

다음 정리는 계수행렬이 정사각행렬인 선형 연립방정식 의 해가 유일하게 존재하기 위한 충분조건에 관한 것이다.

[정리 1.7] 가 행렬일 때, 다음은 모두 같은 의미를 갖는다.

(21) 임의의 행렬 에 대하여 선형 연립방정식 은 유일한 해를 갖는다.

(22) 행렬 는 정칙행렬이다(즉, 이 존재한다).

(23) 선형 연립방정식 은 유일한 해을 갖는다.

(24) det().

정리 1.6과 1.7은 일반 대수학과 행렬 대수학의 관계를 설명할 때 사용된다. 구문 (21)을 만족하면, 구문 (22)와 식 (12), (13)에 있는 성질로부터 다음 관계식을 유도할 수 있다.

(25)

[예제 1.25] 행렬 의 역행렬

과 식 (25)를 사용하여, 다음과 같은 선형 연립방정식 의 해를 구하여라.

(풀이) 식 (25)로부터

[주의 1.1] 실제로는 정칙행렬의 역행렬이나 정사각행렬의 행렬식을 계산하지 않는다. 이 개념들은 해의 존재성(existence)과 유일성(uniqueness)을 증명할 때나, 예제 3.9와 같이 선형 연립방정식의 해를 대수적으로 표현할 때 사용한다.

회전이동

는 행렬이고 는 행렬이면, 행렬의 곱 도 행렬이다. 이것은 일차변환(linear transformation)의 예로서, 컴퓨터 그래픽스와 같은 응용분야에서 자주 사용된다. 행렬 는 3차원 공간 위에 있는 점의 좌표를 나타내는 위치벡터 와 동치이다. 다음과 같은 세 개의 특수한 행렬을 생각해보자.

, (26)

(27)

, (27)

. (28)

행렬 , , 는 공간상의 어떤 점을 각각 축을 기준으로 만큼, 축을 기준으로 만큼, 축을 기준으로 만큼 회전이동시킬 때 사용한다. 이 행렬들에 대한 역행렬은 , , 로서, 각각 축을 기준으로 만큼, 축을 기준으로 만큼, 축을 기준으로 만큼 회전이동시키는 것을 의미한다.

다음은 이 행렬들을 사용하는 예제이다. 더 자세한 내용은 여러분이 직접 찾아보기 바란다.

[예제 1.26] 한변의 길이가 인 정육면체(단위 정육면체)가 제 1 팔분의(octant)에 있고, 한 꼭지점은 원점에 있다. 먼저 이 정육면체를 축을 기준으로 만큼 회전이동시킨 후에, 그 상(image)을 축을 기준으로 만큼 회전이동시킨다. 이 때, 정육면체의 모든 꼭지점에 대한 상을 구하여라.