2008년 1월 3일 목요일

행렬의 곱셈

행렬의 곱셈

1. 행렬의 곱셈 → 여러 개의 행벡터와 열벡터의 곱셈을 한 개의 식으로 나타내는 것.

= …㉠, = …㉡

㉠, ㉡을 한 개의 식으로 나타내면 → =

2. A×B 가 정의될 조건 → (A 의 행의 길이) = (B 의 열의 길이)

☞ (m×l 행렬)×(l×n 행렬) = (m×n 행렬)
☞ A×B ≠ B×A, (AB)C = A(BC) → 곱셈의 교환법칙(×), 결합법칙 (O)

3. 행렬의 거듭제곱→ A×A = A², A×A×A = A³

Problem1-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

A =, B = 일 때, AB-BA 를 구하시오.
(답)
1) AB ==
2) BA ==
3) AB-BA ==
☞ AB≠BA ⇔ AB-BA≠O → 곱셈에 대한 교환법칙은 성립하지 않음.
임의의 2×2 행렬 X 에 대하여 AX = XA 가 성립하도록 하는 2×2 행렬 A 의 꼴은?
① ② ③ ④ ⑤
　
(답) ③
1) X = , A = 라고 놓으면
2) AX = =
3) XA = =
4) 임의의 X 에 대하여 AX = XA 이므로, 아래 네 개의 식은 x,y,z,u 에 대한 항등식
ax+bz = ax+cy…㉠, ay+bu = bu+dy …㉡
cx+dz = az+cu …㉢, cy+du = bz+du …㉣
5) ㉠ → bz = cy 가 모든 y, z 에 대하여 성립하므로 b = c = 0
6) ㉠ → ay = dy 이 모든 y 에 대하여 성립하므로 a = d
7) b = c = 0, a = d 이면 ㉢, ㉣ 이 항상 성립 ∴ a = d, b = c= 0 이므로 A = 꼴 ^^
☞ 모든 x, y, z 에 대하여 ax+by+cz = 0 이 성립 ⇔ a = b = c = 0
A =일 때, 다음 중 AB = O 을 만족하는 B 가 아닌 것은?
① ② ③ ④ ⑤
(답) ⑤ → =
☞ =
다음 중 행렬의 성질로 옳은 것은?
① AB = BA ② A²A³ = A³A² ③ AB = O 이면 BA = O
④ A² = O 이면 A = O ⑤ AB = O 이면 A = O 또는 B = O
(답) ②
1) ② → A²A³ = (AA)(AAA) = (AAA)(AA) = A³A²
2) ④ → 이므로 ④ 는 거짓 ^^
1) AB≠BA → 행렬의 곱셈에서 교환법칙은 성립하지 않음
2) (AB)C = A(BC) → 행렬의 곱셈에서 결합법칙은 성립
3) AB = O 이면 A = O 또는 B = O (거짓)
4) A2 = O 이면 A = O (거짓)

선형 변환

선형 변환

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선형 변환(linear transformation)은 선형성(덧셈성질과 균일성)을 만족하는 두 벡터 공간 사이의 함수이다. 수학적 정의는 다음과 같다.

실수계(real number field)에 속해있는 두 벡터 공간 V와 W를 가정하자. 이 때 벡터 공간 V에 속해있는 두 벡터 x, y와 실수 스칼라 a에 대해 다음의 법칙이 성립되는 함수 f : V → W는 선형 변환이다.

$f(x+y)=f(x)+f(y) \,$	덧셈성질, 중첩의 원리(additivity)
$f(ax)=af(x) \,$	균질성, 균일성(homogeneity)

이 때, 기준이 되는 계는 꼭 실수계일 필요는 없으며 다른 어떤 계에 대해서도 성립할 수 있다.

위의 정의를 확장하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

모든 선형 변환은 벡터 x₁, ..., x_m와 스칼라 a₁, ..., a_m에 대해

$f(a_1 x_1+\cdots+a_m x_m)=a_1 f(x_1)+\cdots+a_m f(x_m)$ 의 공식을 만족한다.

선형 변환의 한 예로 n 차원 열벡터 x, m차원 열벡터 b, m × n 행렬 A에 대해 Ax=b의 연산을 하는 경우를 생각해 볼 수 있다. 이 때 행렬 A는 선형 변환을 정의한다.

선형 변환은 앞의 예와 같이 벡터와 행렬의 곱의 연산으로 표현하는 경우가 많다.

다음은 행렬로 표현한 여러가지 2차원 선형 변환의 예이다.

시계 방향으로 90도 회전:
$A=\begin{bmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{bmatrix}$
x 축에 대해 대칭 이동:
$A=\begin{bmatrix}1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}$
모든 방향에 대해 2배 크기 확대:
$A=\begin{bmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{bmatrix}$
찌그러트림 :
$A=\begin{bmatrix}k & 0\\ 0 & r\end{bmatrix}$
y 축에 영사 :
$A=\begin{bmatrix}0 & 0\\ 0 & 1\end{bmatrix}$

원본 주소 ‘http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95_%EB%B3%80%ED%99%98’

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