Jang Won Hee

2008년 1월 3일 목요일

사원수

수학에서 사원수 (四元數, quaternion)란 아래 조건을 만족하는 3개의 허수단위 i, j, k와 4개의 실수 x, y, z, w를 이용하여 x + yi + zj + wk 로 표기되는 수를 말한다. (하나의 허수단위와 두 실수로 이루어지는 복소수 a + bi과 연관성이 있다.)

사원수는 윌리엄 해밀턴 경이 발견하였으며, 따라서 해밀턴수라고도 부른다. 또한 사원수 전체를 이루는 집합은 보통 H, 또는 $\mathbb{H}$ 로 표기한다.

절대값이 1인 사원수를 단위사원수라고 부르며, 단위사원수를 3차원 공간상의 회전으로 생각하였을 때, 사원수의 곱은 회전합성에 해당한다. (여기서도 복소평면상의 회전과 복소수의 곱의 대응관계를 비교해 볼 수 있다.) 이 때문에 사원수는 컴퓨터 그래픽, 인공위성 자세제어 등에 이용되고 있다.

[편집] 정의

사원수 전체를 이루는 집합 H 에는 실수전체를 이루는 체 R 위의 {1, i, j, k} 를 기저로 하는 4차원 벡터공간으로서의 구조를 더하여 다음과 같이 곱을 정의하고 있다.：

곱은 결합법칙을 만족하며, 합에 대한 분배법칙도 만족한다.
i, j, k 는 각자의 제곱이 -1과 같다.：
i ² = j ² = k² = -1 。
ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j, ijk = jki = kij = -1 。

3번의 조건에서부터 교환법칙이 성립하지 않는 것을 알 수 있다. 그러나 0이외의 원은 곱에 대한 역원을 갖는다. 즉 4원수 전체를 이루는 집합 H 은 비가환군이다. H 를 사원수환이라고 부른다.

사원수 q = x + yi + zj + wk 에 대하여,

$\bar{\mathbf{q}} = x - yi - zj -wk$

로 쓰는 사원수 q^- 를 사원수 q 의 켤레 혹은 켤레사원수라 부른다. 사원수 q 의 노름 N(q) 또는 절대값 q 은 각기

$N(\mathbf{q}) = \mathbf{q}\bar{\mathbf{q}} = x^2 + y^2 + z^2 + w^2$

또는

$\mathbf{q} = \sqrt{N(\mathbf{q})} = \sqrt{x^2+y^2+z^2+w^2}$

로 정의된다.

2008년 1월 1일 화요일

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선형대수학에서 크기 n인 단위행렬(單位行列)은 주대각선(왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는 대각선)이 전부 1이고 나머지 원소는 0을 값으로 갖는 n×n 정사각행렬이다. 크기가 n인 단위행렬은 보통 I_n으로 표기하지만, 그 크기가 문맥상 자명하게 유추 가능한 경우 생략하여 I로 쓰기도 한다.

$I_1 = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix} ,\ I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ \cdots ,\ I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}$

I_n의 가장 중요한 성질로는 다음의 것이 있다.

A I n = A

이고

I n B = B

이다.

이런 성질 때문에 단위행렬은 n×n 행렬로 이루어진 환의 단위 역할을 한다. 또한 n×n 크기의 가역행렬로 이루어진 군의 항등원이기도 하다. (단위행렬은 자기 자신이 자신의 역원이므로 당연히 가역행렬임을 알 수 있다.)

또한 n×n 행렬을 n차원 벡터 공간에서 자기 자신으로 가는 선형 변환으로 보면, I_n은 그 기저와 관계없이 항등함수임을 알 수 있다.

단위행렬의 i번째 열은 단위벡터 e_i가 된다. 단위벡터는 또한 단위행렬의 고유벡터이며 각각의 고유값은 1이다. 이 고유값 1은 유일한 고유값이며 중복도는 n이 된다. 이로부터 단위행렬의 행렬식은 1이고 트레이스는 n임을 알 수 있다.